Salah satu materi terpenting dalam matematika berjenis kalkulus yakni limit. Sebagai dasarnya, materi ini diajarkan pada kelas XI (berdasarkan Kurikulum 2013 - K13). Sejatinya ada 2 macam jenis limit, yakni limit aljabar dan limit trigonometri. Di halaman ini kita batasi mengenai limit aljabar yang tak hingga.

Penyelesaian Limit Tak Hingga

Prinsip penyelesaian limit tak hingga aljabar mengikuti,

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac {k}{x^n}=0$

Namun nanti akan ditemui 2 bentuk umum limit tak hingga (untuk pembelajaran matematika SMA). Pertama limit tak hingga berbentuk pecahan; dan yang kedua limit tak hingga berbentuk "akar kurang akar"

Limit tak Hingga berbentuk Pecahan

Jenis penyelesaian dari limit tak hingga berbentuk pecahan ini adalah dimana kita tinggal melihat pangkat tertinggi dari masing masing (pembilang dan penyebut). Secara umum rumusan penyelesaianya

Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.
bisa ditulis sebagai berikut,

Limit tak Hingga Berbentuk Akar-Akar

Penyelesaian limit tak hingga berbentuk akar-kurang akar  ini bisa dipersingkat dengan menggunakan rumus saja. Adapun penyelesaiany dapat disimpulkan sebagai berikut,

Limit tak hingga bentuk akar
*). Bentuk pertama,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2 + bx + c } - \sqrt{ax^2 + px + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $

*). Bentuk kedua,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^n + bx^\frac{n}{2} + c } - \sqrt{ax^n + px^\frac{n}{2} + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai $ a \, $ sama pada kedua akar.

Contoh Soal dan Pembahasan Limit tak Hingga

Bentuk Soal Limit Pecahan Tak Hingga:

1). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $

Jawab:

Pangkat tertingginya $ x ^3 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^3 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{2}{5} $

2). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $

Jawab:

Pangkat tertingginya $ x^8 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^8 \, $,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{0x^8-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \frac{0}{5} = 0 $

3). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $

Jawab:

Pangkat tertingginya $ x^5 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^5 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{0x^5 + 3x^2 - 4x + 1 } = \frac{1}{0} = \infty $

4). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $

Jawab:

Pangkat tertingginya $ x \, $ , artinya ambil koefisien $ x $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 } } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ 3x } = \frac{2}{3} $

5). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{2-(-1)}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4} $

6). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} $

Jawab:

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{3-5}{2\sqrt{9}} = \frac{-2}{6} = - \frac{1}{3} $

7). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) $

Jawab

DiUbah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{(x + 2)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{x^2 + 4x + 4} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-5-4}{2\sqrt{1}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \frac{-9}{2} \end{align} $

8). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } $

Jawab

DiUbah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } (2x - 3) - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{(2x - 3)^2} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2-12x + 9} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-12-1}{2\sqrt{4}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \frac{-13}{4} \end{align} $

9). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} $
 Jawabn:

Misalkan $ y = 5^x , \, $ untuk $ x \, $ menuju tak hingga, maka $ y \, $ juga menuju tak hingga, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^x . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{y . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{25y - 7} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \frac{1}{25} \end{align} $

Download Soal Limit Tak Hingga .pdf/doc

Untuk melatih dan meningkatkan kemampuan, berikut beberapa file soal limit tak hingga yang bisa anda unduh. Silakan ikuti tautan masing masingnya.

• LKS Limit Tak Hingga
• Contoh Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga
• Soal Limit Tak Hingga.

Terima kasih dan semoga berguna.